Sobre la caracterización y robustez de los atractores de sistemas dinámicos multivaluados

Abstract

The objective of the present thesis is studying multivalued dynamical systems. In particular, we pretend to obtain results related with the structure of the attractors in order to describe the behaviour of solutions for different equations. Therefore, our research may be situated in the field of Applied Mathematics. Specifically, Chapter 1 deals with robustness of dynamically gradient multivalued semiflows. As an application, we describe the dynamical properties of a family of Chafee-Infante problems approximating a differential inclusion, proving that the weak solutions of these problems generate a dynamically gradient multivalued semiflow with respect to suitable Morse sets. Chapter 2 focus on a more general equation called nonlocal reaction-diffusion equation in which the diffusion depends on the gradient of the solution. Firstly, we prove the existence and uniqueness of regular and strong solutions. Secondly, we obtain the existence of global attractors in both situations under rather weak assumptions by defining a multivalued semiflow. We finish this section characterizing the attractor either as the unstable manifold of the set of stationary points or as the stable one when we consider solutions only in the set of bounded complete trajectories. In the last chapter we study the structure of the global attractor for the multivalued semiflow generated by a nonlocal reaction-diffusion equation in which we cannot guarantee uniqueness of the Cauchy problem. We start analysing the existence and properties of stationary points, showing that the problem undergoes the same cascade of bifurcations as in the Chafee-Infante equation. To conclude, we study the stability of the fixed points and establish that the semiflow is dynamically gradient. Also, we prove that the attractor consists of the stationary points and their heteroclinic connections and analyse some of the possible connections. Apart from these three chapters, the manuscript contains an unnumbered section, Introduction (and its Spanish version), as a preamble, where the work as well as the objetives that we pretend to cover are exposed. Subsequently, we have included the preliminary Chapter 0 in order to detail the framework and the previous results needed to achieve the proposed objectives. To end this work, we have created two unnumbered sections, Appendix A and Conclusions and future work (and its Spanish version). In the first one, details about generalization of the lap number property are given whilst in the other one main contributions of our research and some comments on future research lines are summarized.

El objetivo de esta tesis es estudiar sistemas dinámicos multivaluados. En particular, pretendemos obtener resultados relacionados con la estructura de los atractores para describir el comportamiento de las soluciones de diferentes ecuaciones. Por tanto, nuestra investigación puede situarse en el área de Matemática Aplicada. Más concretamente, el Capítulo 1 versa sobre la robustez de los semiflujos multivaluados dinámicamente gradientes. Para aplicar este resultado describimos las propiedades dinámicas de una familia de problemas Chafee-Infante aproximando una inclusión diferencial, demostrando que las soluciones débiles de estos problemas generan un semiflujo multivaluado dinámicamente gradiente con respecto a unos conjuntos de Morse. El Capítulo 2 se centra en una ecuación más general llamada ecuación de reacción-difusión no local, donde el término de difusión depende del gradiente de la solución. En primer lugar, demostramos la existencia y unicidad de soluciones regulares y fuertes. En segundo lugar, obtenemos la existencia de atractores globales en ambas situaciones bajo supuestos bastante débiles al definir un semiflujo multivaluado. Terminamos esta sección caracterizando al atractor como la variedad inestable del conjunto de puntos estacionarios o como la estable cuando consideramos soluciones sólo en el conjunto de trayectorias completas acotadas. En el último capítulo estudiamos la estructura del atractor global para el semiflujo multivaluado generado por una ecuación de reacción-difusión no local donde no podemos garantizar la unicidad del problema de Cauchy. Comenzamos analizando la existencia y propiedades de los puntos estacionarios, mostrando que el problema sufre la misma cascada de bifurcaciones que en la ecuación de Chafee- Infante. Para concluir, estudiamos la estabilidad de los puntos fijos y establecemos que el semiflujo es dinámicamente gradiente. Además, probamos que el atractor está formado por los puntos estacionarios y sus conexiones heteroclínicas y analizamos algunas de las posibles conexiones. Además de estos tres capítulos, este trabajo contiene un apartado no numerado, Introduction (y su versión en español), a modo de preámbulo, donde se exponen tanto el trabajo como los objetivos que pretendemos alcanzar. Posteriormente, hemos incluido el Capítulo 0 preliminar para detallar el marco y los resultados previos necesarios para obtener los objetivos propuestos. Para terminar el trabajo, hemos creado dos secciones sin numerar, Appendix A y Conclusions and future work (y su versión en español de esta última). En el primero se dan detalles sobre la generalización de la propiedad lap number mientras que en el otro se aportan las principales contribuciones de nuestra investigación y algunos comentarios sobre futuras líneas de investigación.