Distancia a la consistencia e inconsistencia de sistemas de desigualdades lineales: implementación en Matlab

Abstract

El presente Trabajo de Fin de Grado versa de forma general sobre la teoría de sistemas de desigualdades lineales que rigen un problema de Programación Lineal. Con el objetivo de entender el enfoque de este campo de la optimización, se contextualizan con breves notas históricas las investigaciones desarrolladas por los pioneros de la Programación Lineal. Dentro del amplio campo de la Programación Lineal, el presente trabajo se ocupa de analizar las repercusiones que pueden ocasionar ligeras modi caciones en los coe cientes de los sistemas de desigualdades lineales y cómo pueden afectar a la solución del problema. Cabe destacar el hecho de que este trabajo se apoya, por un lado, en resultados clásicos de la Programación Lineal y, por otro lado, en resultados recientes de investigación (véanse las referencias bibliográ cas comentadas en la introducción). En este contexto, nuestro principal objetivo es conocer en qué cantidad hemos de modi car los coe cientes de los sistemas de desigualdades lineales de tal forma que consigamos transformar un sistema que no tiene solución en otro que sí la tiene, o bien saber en cuánto podemos modi car dichos coe cientes para poder seguir asegurando que tiene solución. Para comprender este análisis, comenzamos explicando algunos conceptos matemáticos básicos relacionados con los sistemas de desigualdades lineales. A continuación, incluimos varios teoremas imprescindibles acerca de la consistencia e inconsistencia de los sistemas. Por último, nos centramos en estudiar en que cantidad mínima hemos de modi car el sistema para llegar a dicha consistencia o inconsistencia,todo ello acompañado de sus respectivos ejemplos y grá cas. En cuanto a nuestra contribución principal, es la elaboración e implementación en MATLAB de tres programas. El primero de ellos es capaz de calcular y mostrar genéricamente, mediante la introducción del usuario de los coe cientes y términos independientes del sistema de desigualdades lineales, la distancia a la inconsistencia (en norma euclídea). Respecto al segundo, también calcula la distancia a la inconsistencia, pero esta vez utiliza la norma del supremo. El tercero utiliza la norma del supremo y es capaz de calcular y mostrar genéricamente, mediante la introducción del usuario de los coe cientes y términos independientes del sistema de desigualdades lineales, la distancia a la consistencia o inconsistencia según el caso que nos encontremos. Seguidamente exponemos las conclusiones generales del proyecto. Además, mediante el empleo de los programas desarrollados en MATLAB, se exponen diferentes ejemplos que se pueden dar según el sistema de desigualdades lineales en el que nos encontremos.