Semilocal Lipschitz Stability in Linear Optimization

Abstract

Esta tesis tiene su núcleo en el análisis variacional, un vasto y moderno campo matemático estrechamente relacionado con la optimización. Desde su origen en la segunda mitad del siglo XX ha surgido una literatura en rápido crecimiento. A lo largo de los años, de la mano del desarrollo de los ordenadores, la teoría del análisis variacional y de la optimización se ha vuelto cada vez más importante, especialmente por sus numerosas aplicaciones en nuestra sociedad, encontrando ejemplos de aplicación en logística, problemas de localización, selección de proyectos, gestión de recursos, economía, etc. En particular, la presente disertación se centra principalmente en la estabilidad cuantitativa de soluciones factibles y óptimas de problemas de optimización lineal, cuyo análisis teórico se remonta a principios de los años cincuenta. Como se señala nada más comenzar, la tesis es un compendio de cinco artículos. En términos generales, las principales contribuciones originales de la tesis versan sobre problemas de optimización lineal en diferentes configuraciones paramétricas y sus multifunciones conjunto factible y conjunto óptimo (argmin) asociadas. Cada propiedad de tipo Lipschitz puede cuantificarse mediante su constante de Lipschitz ajustada asociada, que se denominará módulo. A grandes rasgos, la tesis trata de las tasas de variación de las soluciones con respecto a los parámetros. Algunas de estas tasas (como el módulo de calmness -no suele traducirse el término-) son locales, en el sentido de que que consideramos parámetros entorno a uno nominal (dado), y soluciones alrededor de una nominal. Algunas otras ratios (como el módulo de Lipschitz upper semicontinuity) son semilocales, ya que combinan pequeñas perturbaciones del parámetro con la variación de todo el conjunto de soluciones. Por último, las tasas globales (como la constante de Hoffman) se refieren a todos los parámetros y a todo su conjunto de soluciones. En estos trabajos se proporcionan fórmulas de las que llamamos "point-based" (que sólo implican parámetros y soluciones nominales) para estos módulos. Uno de los objetivos alcanzados en la tesis es determinar fórmulas de este tipo para los módulos semilocales y globales, concretamente como el máximo de una cantidad finita de módulos de calmness. Además, estudiamos el paradigma del radio de estabilidad para dos nuevas propiedades, subregularidad robusta y continua, junto con sus módulos asociados. Por último, la tesis hace una incursión en la teoría de operadores monótonos con el objetivo de incorporar estas herramientas para proporcionar un nuevo enforque a los problemas de factibilidad.