Sensitivity Analysis and Lipschitzian Properties in Linear Optimization

Abstract

El objetivo de la presente tesis es el estudio de la estabilidad de problemas de optimizaci on lineal a trav es de constantes de tipo Lipschitz. En otros t erminos, se pretende cuanti car la tasa de variaci on, alrededor de una soluci on dada, del valor optimo del problema y del conjunto de soluciones factibles con respecto a la variaci on de los par ametros del modelo. Por tanto, la presente investigaci on se engloba en las areas de Optimizaci on, Programaci on Lineal y An alisis Variacional. De forma m as expl cita, el Cap tulo 1 versa sobre la obtenci on de f ormulas capaces de proporcionar medidas de tasas de variaci on (de crecimiento y decrecimiento) del valor optimo de un problema de programaci on lineal nita bajo perturbaciones can onicas de sus datos. Cabe mencionar que las perturbaciones can onicas son aquellas que afectan al vector de coe cientes de la funci on objetivo y los t erminos independientes (el miembro derecho) de las restricciones. Formalmente, se trata de calcular (o estimar) el llamado m odulo de calmness, as como los m odulos de calmness por arriba y por abajo. El Cap tulo 2 se centra en el c alculo del m odulo de Lipschitz para la misma funci on valor optimo en el mismo contexto param etrico que la anterior, el de los problemas de optimizaci on lineal nitos sujetos a perturbaciones can onicas. Estos dos primeros cap tulos pueden ubicarse en el tema paradigm atico del an alisis de sensibilidad, en tanto que se ocupan de cuanti car la estabilidad del valor optimo de problemas de optimizaci on. Por su parte, el Cap tulo 3 pretende estudiar la propiedad de Lipschitz lower semicontinuity (Lipschitz-lsc, por brevedad) para la multifunci on conjunto factible. En t erminos informales esta propiedad cuanti ca la tasa por la que se encoge localmente (en torno a una soluci on nominal pre jada de antemano) el conjunto factible con respecto a perturbaciones de los datos de los problemas. En este cap tulo se produce un salto notable con respecto a los anteriores en cuanto al contexto param etrico en el que se desarrolla la investigaci on: se trabaja con problemas de optimizaci on lineal donde no necesariamente hay un n umero nito de restricciones, sino que el conjunto de ndices del problema es arbitrario pudiendo ser en particular nito o in nito. Este ultimo caso se corresponde con la optimizaci on lineal semiin nita. Con respecto al tipo de perturbaciones, adem as de perturbaciones del miembro derecho de las restricciones, se analiza la multifunci on conjunto factible en funci on de perturbaciones del miembro izquierdo de las mismas.Adicionalmente, el estudio de Lipschitz-lsc ha dado lugar a estudiar a su vez otro tipo de propiedad tipo Lipschitz de semicontinuidad inferior, a la que hemos denominado Lipschitz lower semicontinuity-star (Lipschitz-lsc , por brevedad). Adem as de estos tres cap tulos mencionados, el manuscrito incluye una primera secci on no numerada, Introduction (y su versi on en castellano), a modo de pre ambulo donde se presenta el trabajo con m as detalle, se exponen los objetivos que pretende cubrir esta investigaci on y c omo se integran estos en la literatura. A continuaci on, se ha creado un Cap tulo 0 preliminar para detallar el contexto param etrico, la notaci on y las herramientas utilizadas y los resultados previos que han sido necesarios para conseguir los objetivos propuestos. Para nalizar el trabajo, se ha creado otra secci on no numerada, Conclusions and future work (con su correspondiente versi on en castellano), donde se resumen y remarcan los resultados principales obtenidos y se dan algunas pinceladas de las l neas de investigaci on a seguir en un futuro.

The objective of the present thesis is studying the stability of linear optimization problems through Lipschitzian constants. In other words, we pretend to quantify the rate of variation, around a given solution, of the optimal value and the feasible set with respect to the variation of the parameters of the model. Therefore, our research may be situated in the elds of Optimization, Linear Programming and Variational Analysis. Speci cally, Chapter 1 deals with the computation of formulae which provide measures of rates of variation (decrease and increase) of the optimal value associated with a nite linear problem under canonical perturbations of the data. It is worth mentioning that canonical perturbations are those that a ect the vector of coe cients of the objective function and the independent terms (the right-hand-side) of the constraints. Formally, we want to compute (or estimate) the so-called calmness modulus as well as the calmness from below and above moduli. Chapter 2 focus on the computation of the Lipschitz modulus of the same optimal value function in the previous parametric setting, i.e., nite linear optimization problems under canonical perturbations. These two rst chapters can be included in the paradigmatic topic of Sensitivity Analysis as they are concerned with quantifying the stability of the optimal value of optimization problems. Chapter 3 aims to study the Lipschitz lower semicontinuity (Lipschitzlsc, in brief) of the feasible set mapping. Roughly speaking, this property measures the rate of local contraction (in a neighborhood of a nominal solution xed in advance) of the feasible set under perturbations of the data's problem. In this chapter there is a notable jump with respect to the previous ones in terms of the parametric context: we now work with linear optimization problems where there is not necessarily a nite number of constraints but the index set is arbitrary; in particular, it may be nite or in nite. In this last case, we deal with the Linear Semi-In nite Programming. About the type of perturbations, besides perturbations of right-hand-side of the constraints, we also analyse the feasible set mapping under left-hand-side perturbations. Additionally, the study of Lipschitz-lsc has led to study, at the same time, other Lipschitzian property of lower semicontinuity which we have called Lipschitz lower semicontinuity-star (Lipschitz-lsc , in brief).In addition to these three mentioned chapters, the manuscript contains an unnumbered section, Introduction (and its Spanish version), as a preamble, where we present the work and expose the objectives that we pretend to cover in this research as well as we comment how these are integrated in the literature. Then, we have included the preliminary Chapter 0 in order to detail the parametric framework, the notation, the used tools and the previous results needed on to achieve the proposed objectives. To end the work, we have created another unnumbered section, Conclusions and future work (and its Spanish version), where we summarize and remark the main contributions of our research and give some brief comments on future research lines.