Study of triplicator diffraction gratings and holograms displayed onto spatial light modulators

Abstract

This thesis comprises the design of phase-only triplicator diffraction gratings and computer-generated holograms (CGHs) and their encoding on phase-only liquid-crystal spatial light modulators (SLMs). Polychromatic CGHs are also developed, where the colour reconstructions are successfully realized by implementing chromatic dispersion control in the hologram design and synchronizing a high-speed SLM with and RGB laser. SLMs are programmable optoelectronic liquid-crystal microdisplays that allow the shaping of light beams, in amplitude, phase and polarization, with high spatial resolution and in real time, thus opening up a wide range of possibilities for bioengineering applications. Here we focus on displaying phase-only functions, since they have ideally 100% diffraction efficiency. However, the performance of SLMs is affected by their pixelated structure and other deletory effects, like phase flicker, refresh rate and light efficiency, that must be taken into account. Therefore, this thesis addresses both the design and characteristics of phase-only diffractive optical elements and the principal aspects that affect the ideal SLM performance, which must be properly evaluated and compensated. Triplicator gratings are 1x3 fan-out elements that generate three equally intense 0th and ±1st diffraction orders. The optimum triplicator phase design has received renewed attention for the implementation of trifocal diffractive intraocular lenses. Also, combined with a spiral phase function, it has served to generate arrays of vortex beams. In this thesis we extend the triplicator phase profile to triplicator holograms, where we are able to obtain the target image on the triplicator orders: direct and inverted image on the ±1st orders, and a delta function on the zero-order. In this way, we can realize an optical convolver and correlator by adding the hologram of the target image to the triplicator holograms. This optical element keeps the high efficiency of the optimum phase triplicator, what is of interest given the essential tool of correlators to check the likeness between two light patterns. This thesis is presented in the conventional mode of a doctoral thesis report and comprises two parts. The first part is devoted to the materials and methods employed: liquid-crystal (LC) on silicon SLMs and Fourier optics theory. When illuminated with linearly polarized light parallel to the LC director, LC-SLMs modulate the phase of input light by addressing them from a computer with a gray level pattern displayed on the device pixelated screen. The displayed pattern then diffracts the incoming light beam and reconstructs the desired optical wavefront. Three different phase-only SLMs are employed in this work; their characteristics and calibration are described in detail. An automatic calibration method based on a polarization camera is proposed and demonstrated on a monopixel LC retarder. The theoretical methods supporting this thesis rely on Fourier analysis, light diffraction theory and Fourier optics. Fourier analysis (including Fourier series and Fourier transform) is briefly reviewed together with the relevant properties that provide the tools for analysing diffraction gratings, calculating CGHs, and modelling the pixelated structure of SLMs. The optical architectures employed to obtain the optical Fourier transform are introduced using the classical simplest approach of Fourier optics, where light beams are considered within the paraxial approximation and a two-dimensional Fourier relation is obtained for the diffracted field with respect to the field behind the diffractive element. The second part of the thesis presents the analytical and experimental results, together with the corresponding discussions. First, using the Fourier series analysis, different phase-only triplicator designs are compared, including binary, multilevel and continuous phase profiles. They are implemented on a LC-SLM considering large periods (of 64 pixels) to verify their properties. The condition for generating a triplicator with high efficiency are discussed. The binary 𝜋 phase grating proves to be a feasible option, with a theoretical efficiency not so far from Gori’s optimum continuous profile, and also close to the efficiency of the multilevel phase profile that adapts well to the SLM pixelated structure. Interestingly, the large number of pixels available in the device enable us to apply a random multiplexing approach, which provides a triplicator with less efficiency but free of higher harmonic orders. However, the pixels feature a dead zone and a limited effective area, thus resulting in a periodical physical structure of the SLM. We model it as an amplitude grating of period equal to the pixel pitch. Using the Fourier transform approach we demonstrate that this SLM pixelated structure yields diffraction parasite orders with weights given by a sinc envelope. Consequently, this effect will be relevant when encoding on the SLM phase gratings with short periods, particularly at the spatial resolution limit (Nyquist limit), i.e. period of two times the pixel pitch, which must be binary phase profiles. The convolutional Fourier approach gives a clear physical insight into this phenomenon, where the target diffraction pattern is replicated on the SLM parasite orders. Therefore, there is a superposition between orders of the different replicas. Analytical expressions for the diffraction orders’ intensities are obtained in terms of the device fill factor and phase level of the binary grating. The triplicator’s diffraction efficiency is also derived and verified experimentally for binary gratings with different periods. As the period decreases down to two pixels (Nyquist limit), the fringing field effect cannot be ignored. Therefore, making use of the fact that the fringing effect smooths the phase profile, we build a nonlinear phase profile model that fits the experimental intensity curves and provides the actual distorted phase implemented on the SLM due to fringing. On the other hand, a systematic study on how to improve the reconstruction quality of phase-only CGHs is done as well. We compute the Fourier transform of the original image and retrieve only the phase (kinoform CGH) to implement it on the SLM, where advantage is taken of fast Fourier transform (FFT) kits in Python. For simple CGH computation, we explore several methods to improve the hologram intensity reconstruction, such as adding amplitude/phase noise to the original field, applying a limit window to the target area, and applying a nonlinear calculation to the original image. All the above methods aim at increasing the weight of the high-frequency component and flattening the intensity distribution in the reconstructed target field with high signal-to-noise ratio. The inverse Fourier transform algorithm (IFTA) is applied. Polychromatic CGHs are presented, where realistic reconstructions can be obtained. Red (R), green (G), and blue (B) lasers are modulated independently and synchronised to a 180 Hz LC-SLM so that, by properly scaling the RGB phase masks, we can compensate for the chromatic dispersion and recover the original colour object. Finally, the triplicator phase profile is applied to CGHs, leading to the reconstruction of the target image at the customized diffraction orders. This provides simultaneously an optical convolver and a correlator. This is useful because when two identical images (in all aspects) are correlated, a delta function will be shown in the reconstructed field. However, if the two images have any difference, like phase information that is invisible, the profile of the delta function will be broadened. This doctoral thesis thus contributes to the advance in the proper use of phase-only liquid-crystal SLMs for the accurate implementation of triplicator phase diffraction gratings and computer-generated holograms. Given the growing interest in using such programmable devices in optical imaging techniques, this thesis provides useful tools for bioengineering, telecommunications, or industry applications.

Esta tesis comprende el diseño de redes de difracción triplicadoras puras de fase y hologramas generados por ordenador, así como su realización experimental con moduladores espaciales de luz (conocidos como SLMs, iniciales de las palabras en inglés Spatial Light Modulators). También se han desarrollado hologramas policromáticos, en los que las reconstrucciones de color se consiguen implementando el control de la dispersión cromática en el diseño del holograma y sincronizando un SLM de alta velocidad con un láser RGB. Los SLM son micropantallas optoelectrónicas de cristal líquido programables que permiten modelar haces de luz, en amplitud, fase y polarización, con alta resolución espacial y en tiempo real, abriendo así un amplio abanico de posibilidades para aplicaciones de bioingeniería. Aquí nos centramos en la visualización de funciones de puras de fase, ya que tienen una eficiencia de difracción idealmente del 100%. Sin embargo, el rendimiento de los SLM se ve afectado por su estructura pixelada y otros efectos secundarios, como el parpadeo de fase, la frecuencia de refresco y la eficiencia, que deben tenerse en cuenta. Por ello, esta tesis aborda tanto el diseño y las características de los elementos ópticos difractivos puros de fase, así como los principales aspectos que afectan y limitan a su implementación física en SLMs, que deben ser adecuadamente evaluados y compensados. Las redes de difracción triplicadoras son elementos divisores de haz de 1×3 que generan tres órdenes de difracción (orden cero y órdenes ±1) con la misma intensidad. El diseño óptimo de la red de fase triplicadora ha recibido renovada reciente atención para la implementación de lentes intraoculares difractivas trifocales. Además, combinado con una función de fase en espiral, ha servido para generar matrices de haces vorticiales. En esta tesis extendemos el perfil de fase de la red triplicadora a los hologramas triplicadores, de modo que se obtienen tres órdenes de ifracción que contienen las imágenes directa e invertida en los órdenes ±1, y una función delta en el orden cero. De este modo, podemos realizar un elemento óptico convolucionador y correlador simplemente añadiendo también el holograma de la imagen objetivo al holograma triplicador. Este elemento mantiene la eficiencia de la red optima triplicadora, y tiene interés ya que el correlador óptico es una herramienta esencial para comprobar la semejanza entre dos patrones de luz. Esta tesis se presenta en el modo convencional de una memoria de tesis doctoral y consta de dos partes. La primera parte está dedicada a los materiales y métodos empleados: se introducen los dispositivos SLM de cristal líquido sobre silicio, conocidos como LCOS (de las iniciales de las palabras en inglés Liquid-Crystal On Silicon) y la teoría de la óptica de Fourier. Cuando se iluminan con luz polarizada linealmente paralela al director del cristal líquido, losdispositivos LCOS-SLM modulan la distribución de fase de la luz de entrada de forma controlada desde un ordenador mediante un patrón de niveles de gris. A continuación, el patrón de luz generado en la pantalla LCOS se difracta y reconstruye en el plano de Fourier el frente de onda óptico deseado. En este trabajo se emplean tres SLM puros de fase diferentes; sus características y calibración se describen en detalle. Se propone un método de calibración automática basado en una cámara de polarización y se demuestra en un retardador de cristal líquido de un único píxel. Los métodos teóricos que sustentan esta tesis se basan en el análisis de Fourier, la teoría de difracción de la luz y la óptica de Fourier. El análisis de Fourier (incluidas las series de Fourier y la transformada de Fourier) se revisa brevemente junto con las propiedades relevantes que proporcionan las herramientas para analizar las redess de difracción, calcular los hologramas generados por ordenador y modelizar la estructura pixelada de los SLM. Las arquitecturas ópticas empleadas para obtener la transformada de Fourier óptica se introducen utilizando el enfoque clásico de la óptica de Fourier, en el que los haces de luz se consideran dentro de la aproximación paraxial y se obtiene una relación de Fourier bidimensional para el campo difractado. La segunda parte de la tesis presenta los resultados analíticos y experimentales, junto con las correspondientes discusiones. En primer lugar, utilizando el análisis de series de Fourier, se comparan diferentes diseños de redes de difracción triplicadoras puras de fase, incluyendo perfiles de fase binarios, multinivel y continuos. Se implementan en un LCOS-SLM considerando periodos grandes (de 64 píxeles) y se verifican sus propiedades. Se discuten las condiciones para generar un triplicador con alta eficiencia. La red de diffración binaria de fase 𝜋 binaria se muestra como una opción factible, con una eficiencia teórica no tan alejada del perfil continuo óptimo de Gori, y también cercana a la eficiencia del perfil de fase multinivel que se adapta bien a la estructura pixelada de los SLM. El gran número de píxeles disponibles en el dispositivo nos permite aplicar un enfoque de multiplexación aleatoria, que proporciona un triplicador con menor eficiencia pero libre de órdenes armónicos superiores. Sin embargo, los píxeles presentan una zona muerta y un área efectiva limitada, lo que da lugar a la estructura física periódica del SLM. Ésta se modeliza como una red de difracción de amplitud de periodo igual a la distancia entre píxeles. Utilizando el enfoque de la transformada de Fourier demostramos que esta estructura pixelada del SLM produce órdenes de difracción parásitos con pesos dados por una envolvente en forma de función seno-cardinal (sinc). En consecuencia, este efecto es relevante al codificar en el SLM redes de fase con periodos cortos, particularmente en el límite de resolución espacial (límite de Nyquist), es decir, periodos de dos píxeles, que forzosamente deben ser perfiles binarios de fase. El enfoque convolucional ofrece una visión física clara dele fenómeno, en el que el patrón de difracción del objetivo se replica en los órdenes parásitos de la SLM. Por lo tanto, en el caso de las redes de difracción, existe una superposición entre los órdenes de las distintas réplicas. Se obtienen expresiones analíticas para las intensidades de los órdenes de difracción en función del factor de llenado del dispositivo y del nivel de fase de la red binaria. También se deduce la eficiencia de difracción del triplicador y se verifica experimentalmente para redes binarias con diferentes periodos. A medida que el periodo disminuye hasta alcanzar los dos píxeles (límite de Nyquist), no puede ignorarse el efecto conocido como fringing que produce una distorsión de la función de fase implementada por el dispositivo, que suaviza el perfil de fase. Este efecto se evalúa mediante un modelo de perfil de fase no lineal que se ajusta a las curvas de intensidad experimentales y proporciona la fase distorsionada real implementada en el SLM. Por otro lado, también se realiza un estudio sistemático sobre cómo mejorar la calidad de reconstrucción de los hologramas generados por ordenador puros de fase. Calculamos la transformada de Fourier de la imagen original aprovechando las funciones de transfomada de Fourier rápida (FFT del inglés, Fast Fourier Transform) existentes en código Pyhton, y recuperamos solamente la distribución de fase (holograma tipo kinoform), que se implementarla en el SLM. En el cálculo simple de los hologramas de fase, exploramos varios métodos para mejorar la reconstrucción de la intensidad, como añadir ruido de amplitud o fase a la función original, aplicar una ventana límite a la zona objetivo de reconstrucción o aplicar un cálculo no lineal a la imagen original. Todos los métodos anteriores tienen como objetivo aumentar el peso del componente de alta frecuencia y aplanar la distribución de intensidad en el campo reconstruido, con una elevada relación señal/ruido. Se aplica el algoritmo de transformada de Fourier inversa (IFTA, del inglés inverse Fourier transform algorithm). Se presentan también hologramas policromáticos, con los que obtener reconstrucciones realistas. Se utiliza un sistema combinado de tres láseres rojo (R), verde (G) y azul (B) que se modulan independientemente y se sincronizan con un LCOS-SLM de 180 Hz, de modo que, escalando adecuadamente las funciones de fase RGB, podemos compensar la dispersión cromática y recuperar el objeto en color original. Por último, el perfil de fase de la red triplicadora se aplica a los hologramas en color, lo que conduce a la reconstrucción de la imagen objetivo en los órdenes de difracción personalizados. Esto proporciona simultáneamente un elemento óptico convolucionador y correlador en color. Esto es útil porque cuando dos imágenes idénticas (en todos los aspectos) están correlacionadas, se mostrará una función delta en el campo reconstruido. Sin embargo, si las dos imágenes tienen alguna diferencia, como información de fase que es invisible, el perfil de la función delta se ensanchará. Esta tesis doctoral contribuye así al avance en el uso adecuado de SLMs de cristal líquido de sólo fase para la implementación precisa de rejillas de difracción de fase triplicadora y hologramas generados por ordenador. Dado el creciente interés en el uso de este tipo de dispositivos programables en técnicas de imagen óptica, esta tesis proporciona herramientas útiles para múltiples aplicaciones de bioingeniería, telecomunicaciones o industriales.